Question

设P是椭圆x^2/a^2+y^2=1的短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值

PQ^2=(1-a^2)[y-1/(1-a^2)]^2+a^2+1-1/(1-a^2)
①如果利用函数不用讨论对称轴1/(1-a^2)＞1的情况么？
②有的人设Q（acosα，sinα）是什么意思啊？？？

Answer 1

显然这里a的大小影响了短轴的分布。本题需要分情况讨论

1. 当a>1时，短轴在y轴上。依据对称性可令P(0,1)，设动点Q(x,y)，则PQ^2=x^2+(y-1)^2

    又x^2=a^2(1-y^2)，所以PQ^2=(1-a^2)y^2-2y+a^2+1（注意-1≤y≤1)

    令f(y)=(1-a^2)y^2-2y+a^2+1（-1≤y≤1，a>1)，显然f(y)开口向下且对称轴y=1/(1-a^2)<0

• 若1/(1-a^2)<-1，即1<a<√2，则f(y)在区间[-1，1]上递减，于是

       f(y)max=f(-1)=4，故PQmax=2

• 若-1≤1/(1-a^2)<0，即a≥√2，则f(y)在区间[-1，1]上不单调，于是

       f(y)max=f[1/(1-a^2)]=a^4/(a^2-1)，故PQmax=a^2/[√(a^2-1)]

   注意，因为在a>1的条件下1/(1-a^2)<0，因此在讨论对称轴位置时不必考虑1/(1-a^2)≥0的情形

 

2. 当0<a<1时，短轴在x轴上。同样可令P(a,0)，设动点Q(x,y)，则PQ^2=(x-a)^2+y^2

    又y^2=1-x^2/a^2)，所以PQ^2=[(a^2-1)/a^2]x^2-2ax+a^2+1（注意-a≤x≤a)

    令f(x)=[(a^2-1)/a^2]x^2-2ax+a^2+1（注意-a≤x≤a，0<a<1)，显然f(x)开口向下且对称轴

    x=a^3/(a^2-1)<0

• 若a^3/(a^2-1)<-a，即√2/2<a<1，则f(x)在区间[-a，a]上递减，于是

  f(x)max=f(-a)=4a^2，故PQmax=2a

• 若-a≤a^3/(a^2-1)<0，即0<a≤√2/2，则f(x)在区间[-a，a]上不单调，于是

  f(x)max=f[a^3/(a^2-1)]=1/(1-a^2)，故PQmax=1/[√(1-a^2)]

  注意，因为在0<a<1的条件下a^3/(a^2-1)<0，因此在讨论对称轴位置时不必考虑a^3/(a^2-1) 

  ≥0 的情形

 

 

 

关于你说的设Q（acosα，sinα）是椭圆的参数形式，可以结合三角函数来做，但仍然需要讨论短轴的分布。具体请参考“参数方程”有关内容

追问

可以详细说下“设Q（acosα，sinα）是椭圆的参数形式”麽？

追答

采用参数形式主要是为了减少一个未知量，比如要表示椭圆上的点需要用到两个未知量即（x,y），而用参数形式就只需要一个变量即α，点的参数形式为（acosα,bsinα）。注意这里α是一个特殊的角度，数学上称为离心角，而不是中心角。
尽管参数方程有以上的便利，但它引入了一个角度，使得对三角函数知识的要求大大提高，如果对三角公式，特别是积化和差、和差化积的公式掌握不熟练，我建议尽量不要采用参数形式。因为所有的参数形式都可以用代数形式来替代。