Question

已知函数Y=f(x)是定义在R上的偶函数，当X<0时，f(x)是单调递增的，求不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集。

Answer 1

偶函数，关于y轴对称，x<0时，f(x)递增，画出草图由对称性可知：x>0时，f(x)递减；
图像类似于一个开口向下的抛物线，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大。
到对称轴的距离用绝对值来衡量
要使得f(x+1)>f(1-2x)，则x+1到对称轴的距离比1-2x到对称轴的距离近；
即|x+1|<|1-2x|
两边平方得：x²+2x+1<4x²-4x+1
3x²-6x>0
x²-2x>0
x(x-2)>0
x<0或x>2
所以，不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集为(-∞,0)U(2,+∞)；

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

两个知识点：
1. f(x)是偶函数，所以 f(|x|)=f(x)，
2. 偶函数的图像关于y轴对称，在y轴两侧具有相反的单调性，从而当x>0时，f(x)是减的。
从而不等式f(x+1)>f(1-2x)可化为
f(|x+1|)>f(|1-2x|)
所以 |x+1|<|1-2x|
所以 (x+1)²<(1-2x)²
3x²-6x>0
解集为{x|x>2或x<0}

Answer 3

函数f(x)是偶函数，且当x<0时，函数f(x)递增，则：
f(x＋1)>f(1－2x)
等价于：
|x＋1|<|1－2x|
两边平方，得：
(x＋1)²<(1－2x)²
(x＋1)²－(1－2x)²<0
(3x)(2－x)<0
x(x－2)>0
得：
x>2或x<0

Answer 4

f(2x-1)=f(1-2x)
所以不等式
f(x+1)>f(2x-1)
x<0
f'(x)>0
x>0
f'(x)<0
x=0
f'(x)=0
f(x+1)在x=-1时，最大值
f(2x-1)在x=1/2时，最大值
以上的最大值是相同的，设为M
f'(x+1)=f'(x)
f'(2x-1)=2f'(x)
1
将区间分为[-inf，-1][-1，1/2][1/2，+inf]
首先讨论[-inf，-1]
在x=-1时，很明显f(x+1)>f(2x-1)
由于在这段上面f(x)递增，而f(2x-1)的递增速度是f(x+1)的两倍
所以这段上面f(x+1)>f(2x-1)恒成立
2
再讨论[-1，1/2]这段f'(x+1)<0,f'(2x-1)>0
在x=-1+（1/2+1）*2/3=0时取平衡点f（1）=f（-1）
所以在[-1，0]，f(x+1)>f(2x-1)
在[0，1/2]，f(x+1)<f(2x-1)
3
在[1/2，+inf]
f(x+1)和f(2x-1)递减
在x=2时，取平衡点f（3）=f(3)
所以在[1/2，2]，f(x+1)〈f(2x-1)
[2，+inf] ，f(x+1)>f(2x-1)
所以原题答案[-inf，0][2，+inf]

Answer 5

可知x＞0时，f(x)是单调递减的
当x+1≥0，1-2x≥0时，即-1≤x≤1/2
x+1＜1-2x，解得：x＜0
则-1≤x＜0
当x+1≤0，1-2x≤0时，不成立
当（x+1）（1-2x）＜0时
①x+1＜0，1-2x＞0，即x＜-1
那么x+1＞2x-1，解出x＜2
则x＜-1
②x+1＞0，1-2x＜0，即x＞1/2
那么x+1＜2x-1，解出x＞2
则x＞2
综上所述，x＜0或x＞2