Question

线性代数，实对称矩阵相似对角化问题

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Answer 1

1、给定对称阵A，求正交阵U，使得U^TAU＝U^(-1)AU＝D是对角阵。
一般而言U都不是惟一的，特别是A有重特征值时，答案更不是惟一的。
但这没有关系，只要U的列向量是对应的特征向量，那就没有问题。
2、给定特征值和特征向量，求对称阵A。这个问题一般而言也不是唯一的，
但特殊情况下是惟一的。像本题，属于特征值－1的特征向量α3给定，属于1
的特征向量没给，但答案还是惟一的。这是可以证明的，只不过证明比较繁琐，
一般是不要求证明的，只要求求出对称阵A就可以了。
1是二重特征值，对应两个线性无关的特征向量，这两个特征向量都与属于－1的
特征向量正交，利用这个可以得到方程组
x2+x3＝0。注意到这个方程三个未知数，一个方程，因此有两个线性无关的解，
这恰好是属于1的两个线性无关的特征向量。这个方程的基础解系不惟一，随便取
一组α1，α2，然后令U＝[α1 α2 α3]，则U^(-1)AU＝D＝diag(1 1 －1)。由此解出A
＝UDU^(－1)即可。值得注意的是这时U不是正交阵。计算可能比较麻烦。为了计算
方便，可以将α1，α2正交化，然后连通α3单位化，这些步骤你做得应该比较熟了，
得到正交阵U，此时U^(－1)AU＝U^TAU＝D，因此A＝UDU^T。你可以验证一下，
两种方法得到的A是一样的。

Answer 2

。。。