Question

已知ab≠0，求证:a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0

Answer 1

必要性：由a+b=1推出a³+b³+ab-a²-b²=0
a³+b³+ab-a²-b²
=(a+b)(a²-ab+b²)-a²+ab-b²
由a+b=1有上式=0

充分性：由a³+b³+ab-a²-b²=0推出a+b=1
a³+b³+ab-a²-b²
=(a+b)(a²-ab+b²)-a²+ab-b²
=(a²-ab+b²)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)²+3b²/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)²+3b²/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1

Answer 2

a^3+b^3+ab-a^2-b^2
= a^3-a^2+b^3-b^2+ab
=a^2(a-1)+b^2(b-1)+ab
=-a^2b-ab^2+ab
=ab(1-a-b)
因为a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0，所以ab(1-a-b)=0，因为ab≠0，所以1-a-b=0，所以a+b=1

因为a+b=1,所以（a+b)^3=1,
所以a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-1=0
因为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-1
= a^3+b^3+ab(3a+3b)-1
=a^3+b^3+3ab-(a+b)^2
=a^3+b^3+3ab-a^2-2ab-b^2
=a^3+b^3+ab-a^2-b^2
所以a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0。

Answer 3

a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
因式分解，得(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0
由于a^2+b^2≥2ab≠ab，因ab≠0
所以
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0等价于 a+b-1=0