Question

如图,在四边形ABCD中,AD平行BC∠DCB=45°,AD=根号2,CD=4,BD垂直CD过点C作CE垂直AB于E，交对角线BD于F，

如图,在四边形ABCD中,AD平行BC∠DCB=45°,AD=根号2,CD=4,BD垂直CD过点C作CE垂直AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF
（1）求EG的长
（2）求证CF=AB+AF
（3）求AB的长
图

Answer 1

1、∵BD⊥CD，∠DCB=45°
∴△BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD=4
∴BC=√2CD=4√2
∵CE⊥AB即△BCE是直角三角形
点G为BC中点
∴EG=1/2BC=2√2
2、证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．
3、 ∵ADBC
∴∠ADB=45°
∴AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos45°
=（√2）²+4²-2×√2×4×√2/2
=2+16-8
=10
∴AB=√10

追问

其实为我只想知道第三题

追答

∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC=45°
∴根据余弦定理
AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos45°
=（√2）²+4²-2×√2×4×√2/2
=2+16-8
=10
∴AB=√10

追问

什么叫余弦定理？
请把全部过程准确的写出来，请用初中生的知识，谢谢

追答

高中做法：
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC=45°
∴根据余弦定理
AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos45°
=（√2）²+4²-2×√2×4×√2/2
=2+16-8
=10
∴AB=√10
初中做法：
做AM⊥BD
∵AD∥BC
∴∠ADM=∠DBC=45°
∴△ADM是等腰直角三角形
∴AM=DM=√2/2AD=√2/2×√2=1
∴BM=BD-DM=4-1=3
∴在Rt△ABM中
AB²=AM²+BM²=1²+3²=10
∴AB=√10

Answer 2

过D点作AB的平行线 交BC于点G 再过D点作DH 垂直于BC与点H
CG=BC-BG=4倍根号2-根号2=3倍根号2
在直角三角形DHC中 角DCB=45度 因此可算出DH和CH的长 再算出HG的长
在直角三角形DGH中 HG HD都可以算出来 在根据勾股定理算出DG的长就是AB的长

Answer 3

图呢

追问

我给了图了