Question

为什么积分的绝对值会不大于绝对值的积分呢？不证明，如何直观理解？

Answer 1

积分求的是一条曲线与x轴在规定区域内包围的面积，在x轴的上方为正，下方为负，它们的代数和就是所求的积分值，这个代数和可能是正，也可能是负，最后要的是代数和的绝对值。而绝对值的积分，是把x轴上方的为正，下方的也为正，最后加起来。当前者都在x轴上方时，两者相等；当前者有正有负时，后者比前者大。
你还记得在初中时学过的知识吗，｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜

Answer 2

因为积分直观上是用来求面积的 ，坐标系上 y轴正半轴和负半轴的面积直接积分是可以抵消的。但是加了绝对值后，相当于被积函数的负半轴部分都到正半轴去了，所以没有抵消掉。

Answer 3

先求积分，被积函数有正有负，求积分可能会抵消一部分。再求绝对值，会小点。
但先求绝对值，被积函数不会是负的，再求积分，就不会抵消，就大点。

Answer 4

• 用初等数学里的不等式就可以证明（-a ≤x ≤a →  /x /≤a）     首先-/f(x)/≤f(x)≤/f(x)/              积分 -∫/f(x)/dx ≤∫f(x)dx ≤∫/f(x)/dx   所以/∫f(x)dx /≤∫/f(x)/dx