Question

数列(2n^2+n)/2^n如何求和Tn

Answer 1

我们将原数列记为an=(2n²+n)/2^n
这个题目，就是要找到一个数列(或者说，关于n的多项式）F(n)=An²+Bn+C
满足 an=[F（n-1)]/2^(n-1) - F(n)/2^n
如果能够找出这样的F（n)
那么原数列之和
Tn=a1+a2+a3+……+an
=a1 + [F(1)/2 - F(2)/4]+[F(2)/4 -F(3)/8]+[F(3)/8 -F(4)/16]+……+[F（n-1)/2^(n-1) - F(n)/2^n]
=a1+F(1)/2-F(n)/2^n

现在求这个F（n)=An²+Bn+C
F(n-1)/2^(n-1) - F(n)/2^n = (2n² +n)/2^n
两边同时消去分母
2F(n-1) - F(n) =2n²+n
代入F(n)= An²+Bn+C
2F（n-1）=2A（n-1）²+ 2B(n-1) +2C
=2An²-(4A-2B)n +2A-2B+2C
所以2F(n-1)-F(n)=An²-（4A-B）n +2A-2B+C
=2n² + n
对比得到A=2 B=9 C=14
F(n)=2n²+9n+14
所以Tn= a1+ F(1)./2 - F（n）/2^n
=14 - (2n²+9n+14)/2^n