Question

如图8，在△ABC中，∠B=60°，圆O是△ABC的外接圆，过点A作圆O的切线，交CO的延长线于点P

如图8，在△ABC中，∠B=60°，圆O是△ABC的外接圆，过点A作圆O的切线，交CO的延长线于点P，CP交圆O于点D。
(1)求证AP=PC
(2)若AC=3，求PC的长

Answer 1

1）疑似要证明：AP=AC
连AD,
因为AC弧所对的圆周角为∠B和∠ADC
所以∠ADC=∠B=60°
因为CD是直径
所以∠CAD=90
所以∠ACD=30°
因为PA是圆的切线
所以∠PAD=∠ACD=30°
因为在△ADP中，∠ADC=∠P+∠PAD
所以∠P=∠ADC-∠PAD=60-30=30
所以∠P=∠ACD
所以AP=AC
2)在直角三角形ACD中，AC=3,
由勾股定理，得CD=2√3，DA=√3
因为∠P=∠PAD=30
所以DP=DA=√3
所以PC=PD+DC=3√3

追问

为什么PA是圆的切线
所以就∠PAD=∠ACD=30°

追答

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角

Answer 2

(1)◆本题结论有误,正确结论为:AP=AC.
证明:连接OA.PA为切线,则OA⊥PA.
∵∠AOC=2∠B=120º.(圆周角的性质)
∴∠P+∠PAO=120º.(三角形外角的性质)
则∠P=120º-∠PAO=30º;
又OA=OC,则∠ACO=(180º-∠AOC)/2=30º.
∴∠P=∠ACO,得AP=AC.
(2)解:作AH垂直PC于H.
∵∠ACO=30º.
∴AH=AC/2=3/2,CH=√(AC²-AH²)=√(9-9/4)=3√3/2.
又AP=AC.故PC=2CH=3√3.

Answer 3

• AP=PC

• 不会吧

• 看图

• 就知差得多了

•