Question

如图,在四边形ABCD中,AC平分角BAD,CE垂直AB于点E。1.若角ADC加角ABC等于180度,求AD加AB等于2AE

.AD加AB等于2AE,求证；CD等于CB

Answer 1

证明：

过C作CF⊥AD,交延长线于点F,

因为AC平分∠BAD

所以∠BAC=∠FAC

因为CE⊥AB

所以∠AEC=90

所以∠AEC=∠F=90,

又AC为公共边

所以△AEC≌△AFC

所以AE=AF,EC=FC,

因为∠ADC+∠B=180,∠ADC+∠CDF=180

所以∠B=∠CDF

因为AD+AB=2AE，AB=AE+BE

所以AD+AE+BE=2AE

即AD+BE=AE

因为AE=AF=AD+DF

所以AD+BE=AD+DF

所以BE=DF

所以△BCE≌△DCF

所以BC=DC

Answer 2

做CF⊥AD的延长线交于F

∵AC平分∠BAD(∠BAF)

CE⊥AB，CF⊥AF

∴CE=CF，

在Rt△ACF和Rt△ACE中

CF=CE

AC=AC

∴Rt△ACF≌Rt△ACE

∴AF=AE

∵∠ADC+∠ABC=180°

∠ADC+∠FDC=180°

∴∠ABC=∠FDC

即∠EBC=∠FDC

在Rt△BCE和Rt△CDF中

CF=CE

∠FDC=∠EBC

∴Rt△BCE≌Rt△CDF

∴DF=BE

BC=CD

∵AD+DF=AF即AD=AF-DF

AB=AE+BE

∴AD+AB=AF-DF+AE+BE=AE+AE=2AE