Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(x-1)=f(x+1)成立

已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(x-1)=f(x+1)成立,且方程f（x）=x有两个相等的实根 。 求f（x）的解析式。
题目错了。。。是f(1-x)=f(1+x)成立,

Answer 1

1.图像过原点说明f(0)=0，由此知C=0。
2.f(x-1)=f(x+1)是典型的周期函数特征，二次函数不可能是周期函数，所以这里可能有错。
很可能是f(1-x)=f(x+1)。在这种条件下，可知x=1是函数图像的对称轴，于是-b/2a=1。
3.f（x）=x有两个等根，等价于ax²+（b-1）x+c=0的Δ=（b-1)^2-4ac=0，又已知c=0，所以b=1。
于是a=-0.5

所以f(x)=-0.5x^2+x

Answer 2

恒有f(x-1)=f(x+1)成立，应该为f(1-x)=f(x+1).否则，是周期函数了。
解：函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点，得c=0，又对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(x+1)成立，
所以对称轴是x=1，得b=-2a，又ax^2+(b-1)x+c=0有两个相等实根，所以
(b-1)^2-4ac=0，解得b=1，a=-1/2，所以f（x）=-1/2x^2+x.

Answer 3

题目是不是错了 应该是f(x+1)=f(1-x)