Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x,恒有f(1-x)=f(1+x)成立,且方程f(x)=x有两个相等的根

(1)是否存在实数m、n，使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

因为图像过原点，所以f(0) = c=0，
再f(x)=x有两个相等的根，故(b-1)^2-4ac=0，所以b=1
并且f(1-x)=f(1+x)，且已知f(x)=ax^2+x，所以a(1-x)^2+1-x=a(1+x)^2+1+x，可以得到
4ax+2x=0，故a=-1/2。
f(x)=(-1/2)x^2+x，所以值域是[1/2,-无穷)
存在，m=-4，n=0

追问

m和n的值有具体过程么？

追答

有啊，当x=m时，f(m)=3m，这样就列出一个关于m的方程
(-1/2)m^2+m=3m，解之，就是两个根。

追问

那为什么n=0呢，求高手解释

追答

m就是两个根啊，一个是-4.另外一个是0，也就是说m=-4，n=0，因为m和n都满足这个函数啊。

Answer 2

图像过原点就是f(0)=0,即f(x)=ax²+bx+c中c=0,照这个思路做下去。