已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°
（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系． 展开
解：（1）AM=CN+MN，
理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∠NCA=∠N′AB=180°-60°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=120°+30°=150°，
∵在△OCN和△OAN′中
OC=OA
∠NCO=∠OAN′
AN′=CN，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON=ON′
∠NOM=∠N′OM
OM=OM，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．
（2）AM=CN+MN，
证明：理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∠NCA=∠N′AB=180°-60°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=120°+30°=150°，
∵在△OCN和△OAN′中
OC=OA
∠NCO=∠OAN′
AN′=CN，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON=ON′
∠NOM=∠N′OM
OM=OM，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．
（3）解：MN=CN+AM，
理由是：延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∠NCA=∠N′AB=180°-60°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=120°+30°=150°，
∵在△OCN和△OAN′中
OA=OC
∠OCN=∠OAN′
CN=AN′，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON=ON′
∠NOM=∠N′OM
OM=OM，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．
