Question

已知二次函数f(x)=x²-ax+c,其中c>0,（1）试讨论函数f(x)的奇偶性。（2）当f(x）为偶函数时……

若函数g(x)=f(x)/x,试证明：函数g(x)在（0，√c）上单调递减，在（√c,+∞）上单调递增

Answer 1

已知二次函数f(x)=x²-ax+c,其中c>0,
（1）试讨论函数f(x)的奇偶性。
f(-x)=x²+ax+c≠-f(x)
当a=0时,f(-x)=x²+c=f(x)，当a≠0时,f(-x)≠f(x)
函数f(x)只有在a=0时是偶函数.
（2）当f(x）为偶函数时,若函数g(x)=f(x)/x,
证明:
∵f(x）为偶函数
∴a=0,g(x)=f(x)/x=x+c/x
①在（0，√c）上设0<X1<X2<√c,g(x1)-g(x2)=X1-X2+c/x1-c/x2=(X1-X2)(X1X2-c)/(X1X2)
∵X1-X2<0,0<X1X2<√c*√c=C,
∴(X1-X2)(X1X2-c)/(X1X2)>0
∴g(x1)>g(x2)
函数g(x)在（0，√c）上单调递减
②在（√c,+∞）上设√c<X1<X2,g(x1)-g(x2)=X1-X2+c/x1-c/x2=(X1-X2)(X1X2-c)/(X1X2)
∵X1-X2<0,X1X2>√c*√c=C>0
∴(X1-X2)(X1X2-c)/(X1X2)>0
∴g(x1)<g(x2)
函数g(x)在（0，√c）上单调递增

Answer 2

(1)当a=0时是偶函数 a不等于0时既不是奇函数，也不是偶函数
（2） 求导得到导数=（x^2-c)/x^2 令导数大于0 x^2>c 所以（√c,+∞）上单调递增
同理导数小于0（0，√c）上单调递减