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因为(a-b)²>=0
(a-1)²>=0
(b-1)²>=0
相加
a²-2ab+b²+a²-2a+1+b²-2b+1>=0
所以2a²+2b²>=2ab+2a+2b-2
所以a²+b²>=ab+a+b-1
(a-1)²>=0
(b-1)²>=0
相加
a²-2ab+b²+a²-2a+1+b²-2b+1>=0
所以2a²+2b²>=2ab+2a+2b-2
所以a²+b²>=ab+a+b-1
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-03-25 广告
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用左边的数减右边的数，
N=a^2+b^2-ab-a-b+1
=(a^2-ab+b^2/4)+3/4b^2-b+1
=(a-b/2)^2+3/4(b-2/3)^2+2/3
>0
N=a^2+b^2-ab-a-b+1
=(a^2-ab+b^2/4)+3/4b^2-b+1
=(a-b/2)^2+3/4(b-2/3)^2+2/3
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证明：设f(a)=a²-a(b+1)+(b²-b+1)，得
判别式△=(b+1)²-4(b²-b+1)=-3(b-1)²≤0
∴f(a)≥0恒成立。即 a²+b²≥ab+a+b-1
判别式△=(b+1)²-4(b²-b+1)=-3(b-1)²≤0
∴f(a)≥0恒成立。即 a²+b²≥ab+a+b-1
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