Question

定义在R上的函数f（x），对任意的x，y属于R有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）不等于0

求证f（x）是偶函数

Answer 1

以x=y=0代入，得：
f(0)＋f(0)=2[f(0)]²
f(0)=[f(0)]²
因为f(0)不等于0，则：f(0)=1
以x=0代入，得：
f(y)＋f(－y)=2f(0)f(y)
f(y)＋f(－y)=2f(y)
f(y)=f(－y)
即：函数f(x)是偶函数。

追问

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Answer 2

证明:
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
令x=0,y=0
f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)
因为f(0)不等于0
∴ 1=f(0)
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
将x换成0，y换成x
则 f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x)
∴ f(x)+f(-x)=2f(x)
∴ f(-x)=f(x)
∴ f（x）是偶函数

Answer 3

取y=0 得出 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）因为x任意所以得出f（0）=1
再去x=0 得 f（y）+f（-y）=2f（y）f（0） 得出 移项代入f（0）=1 得f（y）=f（-y）由y的任意性得出 f（x）是偶函数

Answer 4

f(0)+f(0)=2f(0)^2
f(0)=0 or f(0)=1
因为f(0)不等于0 所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(y)
所以f(y)=f(-y)