Question

设c≠0，关于x的一元二次方程x²+ax+bc=0和x²+bx+ca=0有一个公共根，

设c≠0，关于x的一元二次方程x²+ax+bc=0和x²+bx+ca=0有一个公共根，求证这个两个方程的其它二根为方程x²+cx+ab=0的根

Answer 1

两方程相减，可得公共根为 x=c ，
代入可得 c^2+ac+bc=0 ，由于 c 不为 0 ，
因此两边同除以 c 得 a+b+c=0 。
设非公共根为 x1 和 x2 ，
则 x1+ c = -a ，x2+c= -b ，
因此可得 x1+x2= -a-b-2c= -c ，（1）
又 x1*c=bc ，x2*c=ca ，
所以 x1*x2=(bc)(ca)/c^2=ab ， （2）
由（1）（2）可得，x1、x2 是方程 x^2+cx+ab=0 的两个根 。

Answer 2

x²+ax+bc=0的根是x,y，由韦达定理：xy=bc,x+y=-a
x²+bx+ca=0的根是x,z，xz=ac,x+z=-b
因为x是公共根，两方程相减得：(a-b)x+c(b-a)=0 ,x=-c(如果a=b,原二方程为1个）
代入原方程得：a+b+c=0
x^2yz=abc^2 ,求得：yz=ab
2x+(y+z)=-(a+b),求得：y+z=-(a+b)-2x=-c
所以：y,z是方程x²+cx+ab=0的两根

追问

x应该等于C 而不是-c

Answer 3

联立两方程得：
(a-b)x=c(a-b)
因为a≠b,否则两方程完全相同；
所以
x=c
方程（1）一根为c,另一根为b;
-a=b+c==>a+b=-c
方程（2）一根为c,另一根为a;
-b=a+c ==>a+b=-c
因为两公共根为，a,b,
所以公共根的方程为：
x²-(a+b)x+ab=0; 因为（a+b)= - c
所以公共根的方程为：
x²+cx+ab=0