Question

椭圆的中心在原点上，焦点在x轴离心率√3／2他与直线x+y+1=0相交与pq两点op垂直oq求椭圆的方程

Answer 1

设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，
则 c^2=a^2-b^2 ，e=c/a=√3/2 ，
因此 e^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4 ，所以 a^2=4b^2 ，a=2b ，（1）
将 y= -x-1 代入椭圆方程可得 x^2/a^2+(-x-1)^2/b^2=1 ，
化简得 5x^2+8x+4-a^2=0 ，
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 x1+x2= -8/5 ，x1*x2=(4-a^2)/5 ，
所以 y1*y2=(-x1-1)(-x2-1)=x1*x2+(x1+x2)+1=(4-a^2)/5-8/5+1 ，
因此 OP丄OQ ，所以 x1x2+y1y2=0 ，
即 2(4-a^2)/5-8/5+1=0 ，
解得 a^2=5/2 ，因此 b^2=5/8 ，
所以椭圆方程为 x^2/(5/2)+y^2/(5/8)=1 。

追问

a的平方等于四倍的b的平方咋来的

追答

(a^2-b^2)/a^2=3/4
a^2-b^2=3a^2/4
4a^2-4b^2=3a^2
a^2=4b^2