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f(x)=x³-3x
1.判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明2.设x0≥1,f(x0)≥1,且f[f(x0)}=x0,求证:f(x0)=x0...
1.判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明
2.设x0≥1,f(x0)≥1,且f[f(x0)}=x0,求证:f(x0)=x0 展开
2.设x0≥1,f(x0)≥1,且f[f(x0)}=x0,求证:f(x0)=x0 展开
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解:(1)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2
∴f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)
=x13-x23-3x1+3x2=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)
∵0≤x1<x2,即x1-x2<0
当x1,x2∈[1,+∞)时,x12+x1x2+x22-3>0,有f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
由单调性定义得:f(x)=x3-3x在[0,1]上单调减,在[1,+∞)上单调增
(2)
令f(x0)=t
则f(t)=x0; //1式
用反证法:
如果t<x0
则根据单调性:f(t)=x0<f(x0)=t 推出x0<t,矛盾
如果t>x0
则根据单调性:f(t)=x0>f(x0)=t推出x0>t,矛盾
所以t只能等于x0
代入1式,得f(x0)=x0
∴f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)
=x13-x23-3x1+3x2=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)
∵0≤x1<x2,即x1-x2<0
当x1,x2∈[1,+∞)时,x12+x1x2+x22-3>0,有f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
由单调性定义得:f(x)=x3-3x在[0,1]上单调减,在[1,+∞)上单调增
(2)
令f(x0)=t
则f(t)=x0; //1式
用反证法:
如果t<x0
则根据单调性:f(t)=x0<f(x0)=t 推出x0<t,矛盾
如果t>x0
则根据单调性:f(t)=x0>f(x0)=t推出x0>t,矛盾
所以t只能等于x0
代入1式,得f(x0)=x0
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