Question

MN为圆O的直径,A是半圆上靠近N点的三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上的一个动点，圆O的半径为1，则

PA+PB有最小值吗？（说明理由。）

Answer 1

PA+PB有最小值

作A关于MN的对称点A',连A'B,交MN于点P,连PA,

此时PA+BP最小，

因为A是三等分点

所以∠AON=60°

因为对称，

所以∠A'ON=60°

因为B是AN弧的中点

所以∠BON=30°

所以∠BOA'=90°

在直角三角形BOA‘中由勾股定理，得，A'B=√2,

所以PA+PB的最小值为√2

Answer 2

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=根号2
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=根号2