Question

高中数学吧

如题
设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=－f（x),且当－1≤x≤1时，f(x)=x∧3(x的3次方）。
（1）.证明:直线X=1是函数f（x）的图像的一条对称轴；
（2)当X∈[1,5]时,求f(x)的解析式。

Answer 1

你好。
(1)由f(x)是奇函数，可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),令u=x+1是一个新的自变量，则f(x+2)=f(1+u), f(-x)=f(1-u)， 所以，f(1+u)=f(1-u), 即直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴
我们约定，“《”代表小于等于，“》”代表大于等于
(2)由于当-1《x《1时，f(x)=x^3,根据x=1是f(x)对称轴可得 当1《x《3时，f(x)=-f(x-2)=-(x-2)^3
再由题中条件f(x+2)=-f(x)可得，当3《x《5时，f(x)=-f(x-2)=(x-4)^3

Answer 2

(1)当X=1的时候满足f（x）=X³，则f（x）=f（-x）=-f（x）
由题f（x+2）=-f（x）
所以f（x+2）=f（x）
即为该函数关于X=1对称
（2）不会

Answer 3

由第一句话可知，函数的周期是4。而f（x＋2）＝－f（x）＝f（－x），可知，f（x＋1）＝f（1＋x）＝f（1－x），这样，第一问得证。后面的以此类推，当x属于1到3的闭区间时、f（x）＝－（x－2）‘3；当x属于3到5的前开后闭区间时、f（x）＝（x－4）‘3…手机有些东西打不出，见谅…

Answer 4

令x+1=t,x=t-1,则f<t+1>=-f<t-1>,因为f<x>在R上是奇函数，所以f<t+1>=-f<t-1>=f<1-t>,所以：f<1+t>=f<1-t>,所以x=1是f<x>的对称轴。第二步，根据第一步得到的对称轴，和它以4为周期的周期性做图，就可以得到解析式