Question

已知，函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0，b<1),在区间【2，3】上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)／x

（1）求a,b的值及函数f(x)的解析式
（2）若不等式f(2的x次方）-k×2的x次方≥0在x∈【-1，1】时恒成立，求实数k的取值范围
ax2是ax的平方。那个错了

Answer 1

解：(1)函数g(x)的对称轴为x=1，
当a>o时 函数在[2,3]上单调递增 即在x=2时取最小值，x=3时取最大值。
可得4a-4a+1+b=1 9a-6a+1+b=4 所以a=1 b=0
当a<0时 同理可解 但此时a=0 矛盾了 故不行
所以g(x)=x^2-2x+1 ,a=1 b=0
f(x)=x-2+1/x
(2)由x∈[-1，1]可得2^x∈[1/2,2],
令t=2^x,则不等式化为t-2+1/t-kt≥0在t∈【1/2，2】时恒成立
t>0，不等式可为(1-k)t^2-2t+1≥0,
由t∈【1/2，2】可得t^2∈【1/4，4】,-2t+1∈【-3，0】
当1-k=0时，由上可知题设不等式不成立
当1-k>0即k<1时，(1/4)(1-k)≤(1-k)t^2≤4(1-k)
与-3≤-2t+1≤0相加，得(1/4)(1-k)-3≤(1-k)t^2-2t+1≤4(1-k)
要想题设不等式恒成立，（1/4)(1-k)-3≥0,解得k≤-11
同理，当1-k<0时，解得k≤1/4,与条件矛盾，故舍去

综上，k≤-11

Answer 2

（1）函数g（x）=ax2-2ax+b+1=a（x-1）2+1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故
g(2)=1g(3)=4
，解得
a=1b=0
． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+
1
x
-2，
所以 不等式f（2x）-k•2x≥0可化为 2x+
1
2x
-2≥k•2x，
化为 1+(
1
2x
)2-2•
1
2x
≥k，令t=
1
2x
，则 k≤t2-2t+1，因 x∈[-1，1]，故 t∈[
1
2
，2]，
记h（t）=t2-2t+1，因为 t∈[
1
2
，2]，故 h（t）min=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]． …（14分）

Answer 3

(2)fx=[x^2-2x+1]\x 令2^x=t t∈【1|2, 2]k<=t+1\t-2令m=1\t∈[1/2,2] k,<=0
此问题为恒成立问题，只需分离参数即可，并且学会换元