Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)求证；f(x)是周期函数

为什么用x+2代替x时前面要加负号

Answer 1

f(x)=-f(x+2)
用x+2代替上式中的x 得：f(x+2)=-f(x+4)
∴f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)

∴f(x)的周期是4

Answer 2

解：因为设f(x)是定义在R上的奇函数，
所以：f(x+2)=-f(x+2)
又因为：对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)
所以：-f(x+2)=-f(x)
所以：f(x+2)=f(x)
所以：f(x)是周期函数，周期为2