Question

如图,△ABC中,cos∠ABC=1/3,AB=2,点D在线段AC上，且AD=2DC=2x,BD=（4*根号3）/3 ,求∠DBC的tan值

Answer 1

解：答案：tan∠DBC=(√2)/5

  过程：如图：

 

过点C作AB的平行线交BD的延长线于E, 过E

作BC边上的高EF交BC的延长线于F ,则，∠ECF=∠ABC 

又因为，AD:DC=2:1  所以，AB:EC=2:1, 因为AB=2；BD=(4√3)/3.所以，EC=1 ;DE=(2√3)/3

在Rt△ECF中， cos∠ECF=cos∠ABC=1/3   所以，CF=1/3 

在Rt△EFC中，由勾股定理得;EF=(2√2)/3 

 又因为，BE=BD+DE=2√3 

在Rt△EBF中,由勾股定理得： BF=10/3

所以，tan∠DBC=tan∠EBF=EF/BF=[(2√2)/3]/ (10/3)=(√2)/5 

【法二】：利用余弦定理可求得，过程如下：

设BC=y
根据余弦定理：AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠ABC
9x²=4+y²-4/3y------------------------------------------------------------------------------（1）
cos∠ADB=（AD²+BD²-4)/2BD*AD=（4x²+BD²-4）/4BD*x
cos∠BDC=(BD²+DC²-BC²)/2*BD*DC=（BD²+x²-y²）/2BD*x
由cos∠BDC=-cos∠ADB得，9x²=3y²-18----------------------------------------------（2)
由（1）和（2）得 3y²+2y-33=0，y1=3，y2=-11/3（不合题意舍去）

  所以， y=3  代入方程(2)  得： x=1
   所以,BC=3 ;DC=1 

在△DBC中，cos∠DBC=(BC²+BD²-DC²)/2*BC*BD=[3²+（4/√3)²-1²]/[2*3*(4/√3)]=(5√3)/9

   所以， tan∠DBC=(√2)/5

 

Answer 2

已知cos∠ABC=1/3，则sin∠ABC=2√2/3
根据正弦定理 AC/sin∠ABC=AB/sin∠ACB 即3x/2√2/3 =2/sin∠ACB （1）
DC/sin∠DBC=BD/∠ACB 即 x/sin∠DBC=4√3/sin∠ACB （2）
（1）、（2）式联立 得出sin∠DBC=√6/9