Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于M、N，求证：CM＝2BM

Answer 1

作CE垂直于BA延长线，相交于E。
因为∠CAB＝120°，所以∠CAE＝180°－120°＝60°
所以ACE＝90°－60°＝30°，所以AE=1/2AC。
因为MN是AB的垂直平分线，所以BN＝AN＝1/2AB。
因为AB＝AC，所以BN＝AN＝1/2AB=1/2AC=AE，所以BN:BE=1:3
因为MN垂直于AB，CE垂直于AB，所以MN平行于CE，所以△BNM∽△BEC，
所以BN：BE＝BM：BC，所以BM：BC＝1：3
即：BM/(BM+MC)=1:3，所以BM:CM=1:2，即CM=2BM

Answer 2

连接AM AB=AC => ∠ABC=∠ACB=30°
MN垂直平分AB => MA=MB,∠MAN=∠MBN=30°
所以∠MAC=90° => CM=2AM=2BM