Question

如图,直线AB交x轴正半轴于点A(4,0),交y轴正半轴于点B(0,4)

1、D为OA的中点，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO=∠EDA
2、若P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围

Answer 1

1.证明:作AH⊥OA,交OE的延长线于H,则∠HAE=∠DAE=45°.

∵OA=OB=4;∠AOH=∠OBD(均为角BOF的余角);∠OAH=∠BOD=90°.

∴⊿OAH≌⊿BOD(ASA),AH=OD=AD;∠H=∠BDO.

∵AH=AD;∠HAE=∠DAE;AE=AE.

∴⊿HAE≌⊿DAE(SAS),∠H=∠EDA=∠BDO.

2.OQ的长度不变化.

证明:作MN⊥X轴于N.

∵∠MPN=∠PBO(均为角OPB的余角);

   又PM=PB;∠PNM=∠BOP=90°.(已知)

∴⊿PNM≌⊿BOP(AAS),MN=PO;PN=BO=AO.

则PN+AP=AO+AP,即AN=PO=MN,∠MAN=45°.

∴∠OAQ=∠MAN=45°(对顶角相等).

故⊿OAQ为等腰直角三角形,OQ=OA=4. 

Answer 2

1.AB:x+y=4;OE:2y-x=0解得E(8/3,4/3)。k(DE)=2,k(BD)=-2,证毕
2.不变，这种题一般不变。
设P(t,0),(向量)PM=-i(向量)PB，故M(t+4,t)
MA:t(x-4)=ty，令x=0，则y=-4恒为一解，因而恒过(0,-4)