Question

求lim(√n+1-√n)/(√n+2-√n-1)（n→∞）

Answer 1

n→∞
lim (√(n+1)-√n) / (√(n+2)-√(n-1))
=lim (√(n+1)-√n)(√(n+2)+√(n-1)) / (√(n+2)-√(n-1))(√(n+2)+√(n-1))
=lim (√(n+1)-√n)(√(n+2)+√(n-1)) / (n+2-n+1)
=(1/3)*lim (√(n+1)-√n)(√(n+2)+√(n-1))
=(1/3)*lim (√(n+1)+√n)(√(n+1)-√n)(√(n+2)+√(n-1)) / (√(n+1)+√n)
=(1/3)*lim (n+1-n)(√(n+2)+√(n-1)) / (√(n+1)+√n)
=(1/3)*lim (√(n+2)+√(n-1)) / (√(n+1)+√n)
上下同时除以√n
=(1/3)*lim (√(n+2)+√(n-1))/√n / (√(n+1)+√n)/√n
=(1/3)*lim (√(1+(2/n))+√(1-(1/n))) / (√(1+(1/n))+1)
因为1/n趋于0，故
=(1/3)* (1+1)/(1+1)
=1/3

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