Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn，对于任意的正整数n都有等式

S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+Sn/(an+2)=(1/4)Sn成立。（1）求{Sn}的通项公式
（2）记数列{1/Sn}的前n项和为Tn,求证Tn<1

Answer 1

（1）
S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+Sn/(an+2)=(1/4)Sn
S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+S（n-1）/(a（n-1）+2)=(1/4)S（n-1）
相减得：Sn=1/4an(an+2)
所以S(n-1)=1/4 a(n-1)(a(n-1)+2)
两式想减得(1/4)*（an+a(n-1)）(an-a(n-1)-2)=0
因为an各项都是正数，所以an+a(n-1）大于零
得到an-a(n-1)=2 （等差数列定义）
由原始式子可得a1=2
所以an=2n
Sn=n（n+1）
（2）
1/Sn=1/n(n+1)=1/n -1/(n+1)
应用裂项求和法
Tn=（1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)）
=1-[1/(n+1)] <1
综上Tn<1
亲，多麻烦呀，采纳了吧，求你了

Answer 2

（1）
S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+Sn/(an+2)=(1/4)Sn
S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+S（n-1）/(a（n-1）+2)=(1/4)S（n-1）
相减得：Sn=1/4an(an+2)
所以S(n-1)=1/4 a(n-1)(a(n-1)+2)
两式想减得(1/4)*（an+a(n-1)）(an-a(n-1)-2)=0
因为an各项都是正数，所以an+a(n-1）大于零
得到an-a(n-1)=2 （等差数列定义）
由原始式子可得a1=2
所以an=2n
Sn=n（n+1）
（2）
1/Sn=1/n(n+1)=1/n -1/(n+1)
应用裂项求和法
Tn=（1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)）
=1-[1/(n+1)] <1
综上Tn<1
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谢谢了