Question

如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，∠ADE=60°，边DE与△ABC的外角∠ACF的平分线交于点E.

求证：AD=DE

Answer 1

设AC交DE于F，作辅助线AB边取BH=BD 

（主要思想是证三角形AHD全等于三角形DCE，用角角边） 

因为AB=BC，BH=BD，所以AH=DC（一对边） 

因为BH=BD，角B60度，所以三角形BHD等边，所以角BHD为60度则角AHD为120度 

因为角C外角120度，CE平分它，所以角C+角ACE=角DCE=120度，即角AHD=角DCE(一组角) 

因为角ADE=角ACE=60度，角AFD=角ECD,所以角DAC=角CED，因为HD||CA，所以角DAF=角ADH，所以角CED=角ADH（一组角） 

所以三角形AHD全等于三角形DCE，所以AD=DE，

Answer 2

证明：

在AB上截取AH=CD,连接DH

∵∠ADC=∠B+∠DAH=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°

∴∠CDE=∠DAH

∵AB=AC

∴BD=BH

∴△BDH是等边三角形

∴∠AHD=120°

∵CE是外角平分线

∴∠DCE=120°

在△ADH与△DEC中

AH=DC

∠AHD=∠DCE

∠CDE=∠DAH

∴∠AHD=∠DCE

∴△ADH≌△DCE

∴AD=DE

∠ADE=60º

∴△ADE为等边三角形

Answer 3

证明：
在AB上截取AH=CD,连接DH
∵∠ADC=∠B+∠DAH=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°
∴∠CDE=∠BAH
∵AB=AC
∴BD=BH
∴△BDH是等边三角形
∴∠AHD=120°
∵CE是外角平分线
∴∠DCE=120°
∴∠AHD=∠DCE
∴△ADH≌△DCE
∴AD=DE

Answer 4

证明：
在AB上截取AH=CD,连接DH
∵∠ADC=∠B+∠DAH=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°
∴∠CDE=∠BAH
∵AB=AC
∴BD=BH
∴△BDH是等边三角形
∴∠AHD=120°
∵CE是外角平分线
∴∠DCE=120°
∴∠AHD=∠DCE
∴△ADH≌△DCE
∴AD=DE
我前天圈子上做过的