Question

如图,圆O为四边形ABCD的外接圆,圆心O在AD上,OC平行AB.(1)求证:AC平分于∠DAB

（2）若AC=8，弧AC：弧CD=2：1，试求圆O的半径
（3）若点B为弧AC的中点，试判断四边形ABCD的形状

Answer 1

(1)证：∵OC∥AB

∴∠BAC=∠ACO
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA

∠DAB=∠BAC+∠CAO

∴AC平分于∠DAB

（2）弧AC:弧CD=2:1
⊿ACD为直角三角形，∠ADC=60°

圆半径OC=（8/sin60）/2=（2√3）/3
（3）B为弧AC中点，则AB=BC=CD
BC∥AD
四边形为等腰梯形

Answer 2

（1）证明：∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO．
∴∠CAO=∠BAC．
即：AC平分∠DAB．（2分）

（2）解：AC=8，弧AC与CD之比为2：1，
∴∠CAD=30°．（1分）
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
根据cos∠CAD=
AC
AD
，
∴AD=
16
3

3

∴圆O的半径为
8
3

3
（2分）

（3）解：∵点B为弧AC的中点，
∴

AB
=

BC
，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠OAC=∠OCA．
∴OA∥BC．又OC∥AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
∵AO=CO，
∴四边形ABCO为菱形．（3分）