Question

已知过点A(-1,1)的直线与椭圆x^2/8+y^2/4交于点B,C,当直线l绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程.

Answer 1

设 B（x1，y1），C（x2，y2），M（x，y），

则 x1^2/8+y1^2/4=1 ，x2^2/8+y2^2/4=1 ，

两式相减，得 (x2-x1)(x2+x1)/8+(y2-y1)(y2+y1)/4=0 ，（1）

因为 A、B、C、M 四点共线，

所以 (y2-y1)/(x2-x1)=(y-1)/(x+1) ，（2）

又因为 M 是BC的中点，所以 x1+x2=2x ，y1+y2=2y ，（3），

（2）（3）代入（1）得 (x+1)(2x)/8+(y-1)(2y)/4=0 ，

化简得 (x+1/2)^2/(3/4)+(y-1/2)^2/(3/8)=1 。这就是 M 的轨迹方程 。

Answer 2

设B（x1，y1）、C（x2，y2）、M（x，y），直线BC：y-1=k（x+1）
由于椭圆
x2
8
+
y2
4
=1可化为：x2+2y2=8．
则x12+2y12=8①，x22+2y22=8②
①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0
整理得：
2(y1+y2)
x1+x2
•
y1-y2
x1-x2
=-1
化简得：k=
y1-y2
x1-x2
=-
2y
x
，代入y-1=k（x+1），
整理得：x2+2y2+x-2y=0，即为BC的中点M的轨迹方程．
http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/g0/201312/9hlrg002394502.html