Question

基本不等式内容：当t＞1,求(t^2+2t+3)/(t-1)的最值

求详解，谢谢

Answer 1

设x=t-1，t=x+1，t>1,故x>0
(t^2+2t+3)/(t-1)=[(x+1)`2+2(x+1)+3]/x=(x`2+4x+6)/x=x+4+6/x
=√x`2+√(6/x)`2-2√6+2√6+4=(√x-√(6/x))`2+2√6+4
(√x-√(6/x))`2>0
故最值为2√6+4

Answer 2

(t^2+2t+3)/(t-1)
=(t^2-2t+1+4t+2)/(t-1)
=[(t-1)^2+4t-4+6]/(t-1)
=[(t-1)^2+4(t-1)+6]/(t-1)
=(t-1)+4+6/(t-1)
=4+(t-1)+6/(t-1)
≥4+2√[(t-1)*6/(t-1)]
=4+2√6
当且仅当(t-1)=6/(t-1)，即t=1+√6时取等号
综上，当t=1+√6时(t^2+2t+3)/(t-1)的最小值为4+2√6