如图,等边三角形ABC中,D,E分别在BC,AB上,且BD=1/2DC,AE=1/2EB,AD交,CE于F,求AD乘DF=4/9AB平方
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证明:作DM平行CE,交AB于M,则:BM/ME=BD/DC=1/2,ME=(2/3)BE.
又AE=(1/2)BE,则ME/AE=[(2/3)BE]/[(1/2)BE)=4/3.
∴DF/AF=ME/AE=4/3,AF=(3/4)AF.
∵AB=AC;BD=AF;∠B=∠CAE=60°.
∴⊿ABD≌⊿CAE(SAS),∠BAD=∠ACE.
则∠AFE=∠ACE+∠CAF=∠BAD+∠CAF=60°.
∵∠AFE=∠B=60°;∠EAF=∠DAB.
∴⊿EAF∽⊿DAB,AE/AD=AF/AB,AD*AF=AE*AB.
故:AD*(3/4)DF=(1/3)AB*AB,AD*DF=(4/9)AB².
又AE=(1/2)BE,则ME/AE=[(2/3)BE]/[(1/2)BE)=4/3.
∴DF/AF=ME/AE=4/3,AF=(3/4)AF.
∵AB=AC;BD=AF;∠B=∠CAE=60°.
∴⊿ABD≌⊿CAE(SAS),∠BAD=∠ACE.
则∠AFE=∠ACE+∠CAF=∠BAD+∠CAF=60°.
∵∠AFE=∠B=60°;∠EAF=∠DAB.
∴⊿EAF∽⊿DAB,AE/AD=AF/AB,AD*AF=AE*AB.
故:AD*(3/4)DF=(1/3)AB*AB,AD*DF=(4/9)AB².
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