Question

Y=根号下(2-x)+根号下(3x+12)，-4<=x<=2，求y的值域

Answer 1

换元后用导数求最值.
解:令√(2-x)＝t，∵－4≤x≤2，∴0≤t≤√6，
　则y＝t＋√(18－3t^2)
故y'＝……＝0可得t＝(√6)/2(负根舍去)
　可知函数在(√6)/2的左右的导数值的符号为左正右负，故单调性为左增右减。
　∴t＝(√6)/2时，y最大值为2√6，
　再比较两端的值：t＝0时y＝3√2，t＝√6时y＝√6，∴最小值为√6，
　所以，所求函数的值域为[√6，2√6].

追问

能否用高一的知识回答，我们还没有学习导数

追答

那就是用函数的单调性定义先证明换元后的函数在[0,(√6)/2]上递增，并在[(√6)/2，√6]上递减，然后结合函数的草图，不难得到相同的结果。
但在证明单调性的时候，比较麻烦一些，很考验你的耐心和信心哦，试试吧。

追问

我就是那个证明不出来，

追答

如果对一元二次方程的根的分布掌握得好，这题在换元后得到y关于t的函数时，
可在y≥t的条件下，移项、平方，化增根号，得4t^2－2yt＋y^2－18＝0(0≤t≤√6)，
利用关于t的一元二次方程应在[0，√6]内有解，从而求得y的取值范围，即为值域。