Question

已知函数Y=f（x）对任意的x，y∈R，均有f（x）+f（x）=f（x+y），且当x＞0时f（x )＜0，证明fx在R上是递减

Answer 1

证：
由f（x）+f（y）=f（x+y）
得f(x+y)-f(y)=f(x)
任取x1＜x2
则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)
因为x1＜x2，
所以x2-x1＞0
又且当x＞0时f（x )＜0
故f(x2-x1)＜0
所以f(x2)-f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)
所以f(x)在R上是减函数。
证毕。

Answer 2

由f（x）+f（x）=f（x+y）得到f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),若x1>x2,则x1-x2>0,推出f(x1)<f（x2），
从而f在R上递减。