如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，角ACB=90度，P为三角形ABC外一点，角APC=45度，求证：角APB=90度 40
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因为∠APC=∠ABC=45，将AC看做一条弦，则APC和ABC则是同一条弦对的圆周角，所以APBC四点共圆，因为∠ACB=90，所以AB是直径，所以∠APB=90.
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证法1:∵∠APC=∠ABC=45°.
∴点A,P,B,C四点在同一个圆上.
则:∠APB+∠ACB=180°.
∴∠APB=180°-∠ACB=90°.
证法2:作AE⊥PC于E;作BF⊥PC于F.
∠APC=45°,则AE=PE.
∵∠BCF=∠CAE(均为角ACF的余角);
BC=AC;∠BFC=∠CEA=90°.
∴⊿BFC≌⊿CEA(AAS),BF=CE;CF=AE=PE,则PF=CE.
故:PF=BF(等量代换;又BF垂直PF.
所以,∠BPF=45°,∠BPF+∠APE=90°,即∠APB=90°.
∴点A,P,B,C四点在同一个圆上.
则:∠APB+∠ACB=180°.
∴∠APB=180°-∠ACB=90°.
证法2:作AE⊥PC于E;作BF⊥PC于F.
∠APC=45°,则AE=PE.
∵∠BCF=∠CAE(均为角ACF的余角);
BC=AC;∠BFC=∠CEA=90°.
∴⊿BFC≌⊿CEA(AAS),BF=CE;CF=AE=PE,则PF=CE.
故:PF=BF(等量代换;又BF垂直PF.
所以,∠BPF=45°,∠BPF+∠APE=90°,即∠APB=90°.
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