Question

设函数f (x)是定义在R上的增函数,如果不等式f(ax^2+x-2)<f（x^2-x+1）

f(ax^2+x-2)<f（x^2-x+1）对于任意X属于区间大于等于3/2到正无穷恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)为增函数，则不等式f(ax^2+x-2)<f（x^2-x+1）
等价于 ax^2+x-2<x^2-x+1，即(a-1)x^2+2x-3<0
①当a=1时，不等式为y=2x-3<0，解为x<3/2，在x∈[3/2,+∞)上不等式不成立
②当a>1，即a-1>0时，y=(a-1)x^2+2x-3为开口向上抛物线
在x∈[3/2,+∞)上，y<0不可能恒成立
③当a<1，即a-1<0时，y=(a-1)x^2+2x-3为开口向下抛物线
此时，<1>若△=4+4*3(a-1)<0，则y<0恒成立，解得a<2/3
<2>若△=4+4*3(a-1)≥0，则欲使y<0恒成立，只需使抛物线与x轴的右交点横坐标小于3/2即可
由△≥0可解得2/3≤a<1
由y=(a-1)x^2+2x-3=0解得，
x1=[-1+√(1+3(a-1))]/(a-1)，x2=[-1-√(1+3(a-1))]/(a-1)，(x1<x2)
由x2<3/2可解得a<1/3，与2/3≤a<1矛盾，故△≥0时无解
综上所述，实数a的取值范围为a<2/3