Question

证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)

利用单调数列收敛准则证明，求解，谢谢

Answer 1

首先，Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)>=1/2*2√a=√a则无论X1>0的值如何（所以可假定X1>√a），Xn(n=2,3...)的值都大于或等于√a
如果X1=√a可以确定，Xn为常数列，其极限存在，且为√a。
如果X1不等于√a则Xn也不等于√a,且Xn>√a
故Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-Xn=1/2(a/Xn-Xn)<0
所以，Xn是单调减数列，且有下限√a，极限存在。
继而推得其极限就是√a