Question

求高手啊 一阶线性微分方程绝对值的问题

对1/x积分应该是ln|x|吗 为什么书上用了lnx,求解啊 为什么这么处理啊

Answer 1

先看齐方程：y'+(1/x)y=0, dy/y=-dx/x, 解为：ln|y|=-ln|x|+C1，于是：xy=±e^(C1)=C 于是y=(1/x)C，然后用常数变易法将C改为C(x)求通解。

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐次线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐次线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

定义：

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

Answer 2

注意，int 1/x dx = ln|x|+C只是一种简记方式，因为定义域本身不连续，把两个区间合并起来意义不大，纯粹是为了速记而已
微分方程描述的都是局部性质，讨论经典解的时候同样不能跨过不连续点，这和常数变易法或者C的任意性完全没有关系

对于你给的这个方程，应该说解答本身是不完整的，由于定义域中出现间断，需要对x<0分开讨论，在两个开区间上分别给出通解
另外，如果讨论全部解的话最终x>0和x<0这两段区间上对应的常数C还可以不相同
（微分方程的“通解”和“全部解”不完全一样）

Answer 3

先看齐方程：y'+(1/x)y=0, dy/y=-dx/x, 解为：ln|y|=-ln|x|+C1
于是：xy=±e^(C1)=C 于是y=(1/x)C，然后用常数变易法将C改为C(x)求通解。

上述解题过程便是一阶线性微分方程公式的来源，由于C的任意性，人们在解微分方程的时候，就把绝对值去掉了，最后有C和一个特解就可以了。

但一般在积分时，最好加上绝对值，以免出现错误。