Question

自动控制原理，根轨迹分析

∠（2j）和∠(-1+j) 这两个角度分别是多少呢？怎么换算成角度的呢？

另外上图中的两个公式中的K是如何取值的？根据什么要求来取值的呢？是否跟渐近线的条数的k值取值方式一样呢？也就是k=0,1,2，...，n-m-1（n>m的话）

Answer 1

楼主你好,你所提的问题属于复数的幅角问题.将里面的复数标在复平面内,即实部为横轴,虚部为纵轴.然后求取x正轴方向到此点的夹角即可(以逆时针方向为正).一般都认为幅角的范围是[-π,π)
2j,在复平面中即(0,2)点,按照定义,从x+轴到此点的角度为90°
而-1+j,在复平面中即(-1,1),按照定义,其幅角为135°

对于你所指的K,它的意思实际上是让你选取一个合适的K,使得所求的角度落在[-π,π)中
事实上,K的取值多几少几是无所谓的,K多了1,也就是在幅角中多了2π,和原来是一样的

追问

1. 如果一个系统的开环极点为P1=0，P2=-1+J，P3=-1-j，P4=-5，没有开环零点

那么入射角θ=π-∠(P2-P1)-∠(P3-P2)-∠(P3-P1)-∠(P4-P3)-∠(P4-P2)-∠(P4-P1)呢？

2. 其中，因为系统没有开环零点，所以在计算入射角的时候，也就当成是“0”，对吗？

追答

楼主你好,对于前一个问题:
所求的入射角、出射角,相当于是根轨迹无限逼近一个开环极点或者开环零点时的角度,或者说切线角度,这个角度是和你逼近的究竟是哪一个点有关的.式子中很明白
fai zx是零点zx处的入射角,其中x表示这个零点的编号.
后面的式子中,zx都是这个零点,而zi则为除了这个零点之外其他的零点.

不过你举得例子是无法成立的,入射角就是对开环零点而言的,换句话说你的公式套错了,此时只能求一个极点的出射角.
拿P1做例子吧,(2k+1)π不会有问题
而Σ∠(px-zi),在没有零点的时候就当做零,即相应的项不存在,但如果有的话,需要遍历所有的零点,比方说系统存在零点Z1,Z2,Z3,则此部分分别要计算Px-Z1,Px-Z2,Px-Z3,但是与其他的极点Py无关
再说∠(Px-Pj),求和式子中已经指出,j≠x,表述成文字就是,Px与其他每一个极点做差,就你给的例子而言:比如你要算P1处的出射角,则此项为∠(P1-P2)+∠(P1-P3)+∠(P1-P4)

而求入射角与此相仿.总之,求极点处的角,就拿每个零点和其他的极点与这个极点相减;求零点处的角,就拿每个极点和其他的零点与这个零点相减.具体的正负号参考公式.

对于你提的后一个问题,就在刚才已经解释,不存在的项当做0处理

追问

还有一个问题，就是如果当你在求根轨迹在实轴的分离点时，无论你用什么方法，都得到一个一元四次的方程，而这个四次方程无法通过因式分解或者降次的方式来轻易求得，这时候你会怎么做呢？
有没有一种方法能在计算分离点之前，通过比较简单的方法来判断系统根轨迹是否在实轴有分离点呢？

追答

如果得到的是四次方程,确实没有什么好办法.考试不会出这种变态题吧?
如果实际中遇到了,可能用Matlab,或者二分法手算去解吧.

在计算分离点前判断是否有分离点的话,我们没有讲到,课本上的题目都是解出来以后判断是否处于实轴根轨迹的.如果说有必要,可以对分离点方程在实轴根轨迹上取点试值,用零点定理判断分离点的存在性.其他我确实想不到什么好方法了

Answer 2