Question

f(x)与g(x)是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上两个不等（注意）的实数，设|f(x1)+f(x2)|≥|g(x1+g(x2)|，

f(x)与g(x)是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上两个不等（注意）的实数，设|f(x1)+f(x2)|≥|g(x1+g(x2)|，且f（x）是奇函数，判断函数g（x）的奇偶性并说明理由
g（0）是否等于0

Answer 1

解答：
利用赋值的方法
|f(x1)+f(x2)|≥|g(x1+g(x2)|
令x1=x, x2=-x
则|f(x)+f(-x)|≥|g(x)+g(-x)|
∵ f(x)是奇函数，
则 f(x)+f(-x)=0
∴ 0≥|g(x)+g(-x)|
∵ 绝对值非负
∴ |g(x)+g(-x)|=0
即 g(x)+g(-x)=0
∴ g(-x)=-g(x)
即 g(x)是奇函数

∵ g(-x)=g(x)
令x=0
则 g(0)=-g(0)
∴ g(0)=0

追问

x1、x2是R上两个不等（注意）的实数，g(-x)=-g(x)是在x1与x2不相等的情况下得出的，x=0时g(0)=-g(0)中x1=x2=0需要另外证明

Answer 2

解
令x1=-x2
|f（x1）+f（x2）|=|f（x2）+f（-x2）|=0(因为f（x）奇函数）
则|g（x2）+g（-x2）|≤0
所以g（x2）+g（-x2）=0
所以g（x）奇函数
取x2=0,则由g(x2)+g(-x2)=0得g(0)=0

追问

x1、x2是R上两个不等（注意）的实数，g(-x)=-g(x)是在x1与x2不相等的情况下得出的，x=0时g(0)=-g(0)中x1=x2=0需要另外证明