Question

当X→2时，y=x²→4,问δ等于多少，使当|X-2|<δ时，|y-4|<0.001？

我需要大家计算的步骤，和怎样确定δ的取值。。。

Answer 1

x=2+-δ
y=4+-2δ+δ^2
|y-4|=|+-2δ+δ^2|<0.001
忽略2阶小量
得δ<0.0005

追问

令δ<1,那么1<x<3,于是3<x+2<5，
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ
令5δ<0.001
于是δ<0.0002

我看别人是这样的答案，参考书也是这个结果，我就是不懂
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ ，这个是怎么推算出来的，我数学很差，想复习考研。

追答

我重新给你细讲下吧，

首先，δ>0，而且是个很小的值
所以，
若x>2， 则x=2+δ
y=x^2=4+4δ+δ^2
y-4=4δ+δ^2<0.001
精确解按照二次函数求根公式可以解出区间，是一个复数，而他答案给的是一个解的子集
因为δ很小，所以不妨令其小于1则上式变成了
y-4=5δ<0.001

δ<0.0002

解出来的并不是精确解

若x<2，则x=2-δ
y=x^2=4-4δ+δ^2

y-4=-4δ+δ^2<0.001

同理

Answer 2

这不需要严格匹配，可以放大缩小
设|y-4| < ε时， 4-ε <y < 4+ε
y=x^2，所以对上式进行开根号得到(我们可以假定ε <4)
根号(4-ε) < x < 根号(4+ε)
根号(4-ε) < 根号(4-ε + ε^2/16) = (2-ε/4)
根号(4+ε) > 根号(4-4根号(ε)+ε) = (2+根号(ε))
所以 取δ = min(ε/4, 根号(ε))就可以满足条件
带入ε你可以得到δ

追问

令δ<1,那么1<x<3,于是3<x+2<5，
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ
令5δ<0.001
于是δ<0.0002

我看别人是这样的答案，参考书也是这个结果，我就是不懂
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ ，这个是怎么推算出来的，我数学很差，想复习考研。

追答

你可以假定当我们选择δ 和ε时，他们的值都很小，x应该接近2，所以x+2接近4，所以∣x-2∣∣x+2∣～ 4|x-2|=4δ < 5δ