Question

高一函数数学题，急急急！

已知f(x)是定义在（0，正无穷）上的增函数，f(x)>0,且f(2)=1,试指出函数g(x)=f(x)+1/f(x)(x>0)的单调区间及单调性，并证明你的结论
请求详细过程，急急急！

Answer 1

由均值定理可知 g(x)=f(x)+1/f(x)大于等于2 且f（x）=1/f（x）等号成立
即f（x）=1 x=2时 g（x)取得最小值
因此我们考虑区间 （0,2）（2，正无穷）
设0<x1<x2 此时 g（x1）-g（x2）=[f(x1)-f(x2)][1-1/f（x1）f（x2）]
因为f(x)是增函数
所以f（x1）-f（x2）小于0
当0<x1<x2 <2时 f（x1）f（x2)<f（2）f（2）<1
所以1-1/f（x1）f（x2）小于0
即此时g（x1）-g(x2)大于0
故此时g（x)为减函数
当2<x1<x2 时
f（x1）f（x2）>f（2）f（2）>1
所以1-1/f（x1）f（x2）>0
即此时g（x1）-g（x2）小于0
故此时g（x）为增函数
综上所述
g（x）在（0,2）上单调递减，在（2，正无穷）上单调递增

Answer 2

首先，它是已知的X> = 0，则（日志2作为底物）> = 0，即x> = 1
其次，因为f（x）中的定义域的单调增加，因此，如果f（日志2底部x |）> 0（该量。加入绝对值吗？）
？？在短短的（日志2底X）> 2（登录2个底部X）<-2可以解决0 <X <quarter或X> 4

Answer 3

由均值定理可知 g(x)=f(x)+1/f(x)大于等于2 且f（x）=1/f（x）等号成立
即f（x）=1 x=2时 g（x)取得最小值
因此我们考虑区间 （0,2）（2，正无穷）
设0<x1<x2 此时 g（x1）-g（x2）=[f(x1)-f(x2)][1-1/f（x1）f（x2）]
因为f(x)是增函数
所以f（x1）-f（x2）小于0
当0<x1<x2 <2时 f（x1）f（x2)<f（2）f（2）<1
所以1-1/f（x1）f（x2）小于0
即此时g（x1）-g(x2)大于0
故此时g（x)为减函数
当2<x1<x2 时
f（x1）f（x2）>f（2）f（2）>1
所以1-1/f（x1）f（x2）>0
即此时g（x1）-g（x2）小于0
故此时g（x）为增函数
综上所述

Answer 4

答案：当x在(0,2]时，g(x)为单调递减，当x在[2,+∞]时，g(x)为单调递增， 具体方法可结合勾函数图像、基本不等式、和复合函数的单调性来考虑，还要注意f(2)=1这个条件