Question

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,F在AC上,在BA延长线上取AE=AF,求证:EF⊥BC

添加辅助线AD⊥BC

Answer 1

证明
作AD⊥BC于点D
则AD平分∠BAC
∴∠BAD=1/2∠BAC
∵AE=AF
∴∠E=∠AFE
∴∠BAC=∠E+∠AFE=2∠E
∴∠E=1/2∠BAC
∴∠BAD=∠E
∴AD∥EF
∵AD⊥BC
∴EF⊥BC

Answer 2

角EAF=角B+角C
角BAC=180度—（角B+角C）=180度—角EAF
所以角BAC=角AFE+角E
角AFE=角E
角BAC=2倍的角DAC=2角AFE
所以角DAC=角AFE
所以AD平行EF
所以EF垂直BC

Answer 3

延长EF交BC于N,取BC中点M,连AM，可以证明角CFN＝角EFA=角FEA=0.5角BAC=角FAM
所以FN平行AM，因为△ABC为等腰三角形，所以AM⊥BC所以EF⊥BC

Answer 4

因为∠C+∠DFC=∠EDB，∠E+∠B=∠EDC
因为∠C=∠B，∠E=∠DFC
所以∠FDC=∠EDB
故得证EF⊥BC

Answer 5

延长EF,交BC于M
∵∠EAF=∠B+∠C,∠B=∠C
∴∠EAF=2∠C
∵AE=AF
∴∠E=∠AFE,∠AFE=(180°-2∠C)÷2=90°-∠C,∠AFE+∠C=90°
∵∠AFE=∠CFM
∴∠CFM+∠C=90°
∴∠CMF=90°
∴EF⊥BC