Question

已知函数G(X)=ax平方-2ax+1+b(a≠0 b<1）

已知函数G(X)=ax平方-2ax+1+b(a≠0 b<1）在区间｛2，3｝上有最大值4 最小值1 设F（X）=G(X)/X
1求a b的值
2 若不等式f（2的X次方）-k 乘2的X次方≥0在x∈｛-1，1｝上恒成立，求K的取值范围

Answer 1

首先得出顶点X坐标，x=-(-2a)/2a=1，y=(4a(b+1)-(-2a)^2)/4a)=b+1-a

所以，在区间{2，3}上是单调的

当a>0时，开口向上，最小值位于x=2处，最大值位于 x=3处 2^2*a-2a*2+1+b=1,3^2*a-2a*3+b+1=4

解得a=1,b=0

当a<0时，开口向下，最小值位于x=3处，最小值位于x=2 处，

解得a=-1,b=3

依题意，b<1

所以取第一组解

解析式为：G（x）=x^2－2x+1，F（X）=(x-1)^2/x

设U＝2^x

则F（U）－K*U>=0

K<=F(U)/U

K<=(U-1)^2/U^2

K<=(1-1/U)^2

K<=(1-2^(-x))^2

所以，当x=0时，取得最小值0

所以K<=0

为便于理解，提供 f(x)=(1-2^(-x))^2 的图象

Answer 2

1、G(x)=a(x-1)^2+1-a+b ，对称轴 x=1 ，
所以函数在 [2，3] 上为单调函数，
（1）当 a>0 时，抛物线开口向上，函数在 [2，3] 上为增函数，所以
1=a(2-1)^2+1-a+b ，且 4=a(3-1)^2+1-a+b ，
解得 a=1 ，b=0 ；
（2）当 a<0 时，抛物线开口向下，函数在 [2，3] 上为减函数，所以
1=a(3-1)^2+1-a+b ，且 4=a(2-1)^2+1-a+b ，
解得 a= -1 ，b=3 （舍去，因为不满足 b<1 的条件），
综上，a=1 ，b=0 。

2、由 1 可得 G(x)=x^2-2x+1 ，所以 F(x)=x+1/x-2 ，
当 -1<=x<=1 时，1/2<=2^x<=2 ，
因此，条件化为 F(x)-k*x>=0 在 [1/2 ，2] 上恒成立，
即 k<=F(x)/x 在 [1/2，2] 上恒成立 。
由于 F(x)/x=G(x)/x^2=(x-1)^2/x^2>=0 （x=1 时取最小值），
因此，k<=0 。