Question

在三角形ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。

Answer 1

如图所示，设最小角为α，则最大角为2α，由三角形内角和为π，得剩余角为π-3α，且α<π-3α<2α，解得π/5<α<π/4；设此连续正整数三边长分别为n-1，n，n+1，由大边对大角，小边对小角可得，n+1对应角为2α，n-1对应角为α，由三角形内角和为π，得n对应角为π-3α。

由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r，得

(n+1)/sin2α=n/sin(π-3α)=(n-1)/sinα.整理，得

(n+1)/(n-1)=sin2α/sinα；

n/(n-1)=sin3α/sinα.

由二倍角公式sin2α=2sinαcosα；三倍角公式sin3α=sinα(4cos²α-1)，代入，得

(n+1)/(n-1)=2cosα…………①；

n/(n-1)=4cos²α-1…………..②.

①两边平方，可得(n+1)²/(n-1)²=4cos²α.代入②式，解之，得

n=5.再代回①式，得cosα=3/4，α=arccos3/4，符合π/5<α<π/4.

故三角形三边长分别为4，5，6.

Answer 2

设三边长分别为a=n,b=n+1,c=n+2,显然C最大，A最小,C=2A
作C的角平分线CD，交AB于D. ACD=BCD=A
CD角平分线,AC/BC=AD/BD(这个性质好证，延长CD和过D做AC,BC的高，根据SACD/SBCD即可)
所以可求BD=n(n+2)/(2n+1) AD=(n+1)(n+2)/(2n+1)
B=B CDB=A+ACD=ACB
所以ACB相似CDB
AC/CD=AB/BC 带入可得n*n-3n-4=0 n=-1舍去 n=4
即4 5 6

Answer 3

设三边长分别为n,n+1,n+2
最大角角度为2θ,最小角为θ
由余弦定理得
cosθ=((n+2)^2+(n+1)^2-n^2)/(2(n+2)(n+1))
cos2θ=(n^2+(n+1)^2-(n+2)^2)/(2n(n+1))
由二倍角定理可得
cos2θ=(cosθ)^2-1
接下来自己算吧，就一个未知数。。。