Question

梯形ABCD,AD平行于BC,E为AB上一点,DE、CE平分∠ADC、∠BCD,求E是AB中点

Answer 1

证明：延长DE与CB的延长线相交于点F
因为AD平行BC
所以角DAE=角EBF
角ADE=角BFE
角ADC+角BCD=180度
DE,CE平分角ADC和角BCD
所以角EDC=1/2角ADC
角DCE=角FCE=1/2角BCD
所以角EDC+角DCE=90度
因为角EDC+角DCE+角DEC=180度
所以角DEC=角FEC=90度
因为角DCE=角FCE(已证）
因为CE=CE
所以直角三角形DEC和直角三角形FEC全等（ASA)
所以DE=FE
所以三角形ADE和三角形BFE全等（AAS)
所以AE=BE
所以点E是AB的中点

Answer 2

过E做AD和BC的平行线交DC于F,则∠ADE=∠DEF、∠ BCE=∠FEC,
因为,DE平分∠ADC,， CE平分∠BCD ， 所以∠ADE=∠EDF，∠BCE=∠FCE
所以∠DEF=∠EDF，∠FEC=∠FCE
所以△DFE和△EFC均为等腰△，DF=EF，FC=EF，DF=FC
所以AE=EB，即E是AB中点

Answer 3

DE、CE平分∠ADC、∠BCD
所以 ∠ade=∠edc ∠bde=∠ecd
梯形ABCD ad平行bc ad=bc
所以∠aed=∠edc=∠ade 得ad=ae　（内错角相等）
同样∠bec=∠ecd=∠bce 得be=bc
因为　ad=bc
所以 ae=be　E为AB中点

Answer 4

证明：
过点E作EF∥AD交CD于F点
∵AD∥BC
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠EDF=∠ADE=∠FED，∠ECF=∠BCE=∠CEF
∴EF=DF,CF=EF，既EF=1/2CD
∴F为CD中点
∵E为AB上一点，EF∥AD∥BC
∴E应为AB中点

Answer 5

证明：延长DE与CB的延长线相交于点F
因为AD平行BC
所以角DAE=角EBF
角ADE=角BFE
角ADC+角BCD=180度
DE,CE平分角ADC和角BCD
所以角EDC=1/2角ADC
角DCE=角FCE=1/2角BCD
所以角EDC+角DCE=90度
因为角EDC+角DCE+角DEC=180度
所以角DEC=角FEC=90度
因为角DCE=角FCE(已证）
因为CE=CE
所以直角三角形DEC和直角三角形FEC全等（ASA)
所以DE=FE
所以三角形ADE和三角形BFE全等（AAS)
所以AE=BE
所以点E是AB的中点