Question

如图 二次函数的图象经过点A(1,0) B(3,0)C(0,4)三点 求这个二次函数

如图,二次函数的图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,4)三点。（1）求这个二次函数的解析式（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点p,使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）点M是这个二次函数图像上从点C到点B一段上的动点（与点B、C不重合），问当点M在什么位置时，△BCM的面积最大？求出此时点M的坐标及△BCM的面积的最大值
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Answer 1

1. 由题意，可设　y=a(x-1)(x-3)，将C(0,4)代入，得a=4/3，所以　y=(4/3)x²-(16/3)x+4

2. 对称轴为x=2，设P(2,y)，则向量AP=(1,y)，向量CP=(2,y-4).由于　AP⊥CP，所以　2+y(y-4)=0，解得y=2±√6，即P(2，2±√6)

3. 求出与BC平行的抛物线的切线，则切点M与BC组成的△BCM的面积最大。

     BC的斜率为-4/3，方程为4x+3y-12=0

    设切线为y=(-4/3)x+b，代入y=(4/3)x²-(16/3)x+4，得

    (-4/3)x+b=(4/3)x²-(16/3)x+4

    (4/3)x²-4x+4-b=0

    ⊿=16-(16/3)(4-b)=0，解得　b=1,代回方程，解得x=3/2，y=-1　即M(3/2，-1)

    |BC|=5，M到BC的距离为|6-3-12|/5=9/5

  △BCM的面积最大值为5×(9/5)/2=9/2

望采纳！！！

Answer 2

(1)由于二次函数的图像经过点B(3,0),A(1,0),故可设二次函数为y=a(x-1)(x-3)，将C(0,4)代入，得a=4/3，所以　y=(4/3)x²-(16/3)x+4

Answer 3

用二次函数标准式带入三个点坐标组成3个方程式组
解a,b,c三个系统就得到函数解析式

Answer 4

1)由题意，可设　y=a(x-1)(x-3)，将C(0,4)代入，得a=4/3，所以　y=(4/3)x²-(16/3)x+4
(2)对称轴为x=2，设P(2,y)，则向量AP=(1,y)，向量CP=(2,y-4)
由于　AP⊥CP，所以　2+y(y-4)=0，解得y=2±√6，即P(2，2±√6)
(3)求出与BC平行的抛物线的切线，则切点M与BC组成的△BCM的面积最大。
BC的斜率为-4/3，方程为4x+3y-12=0
设切线为y=(-4/3)x+b，代入y=(4/3)x²-(16/3)x+4，得
(-4/3)x+b=(4/3)x²-(16/3)x+4
(4/3)x²-4x+4-b=0
⊿=16-(16/3)(4-b)=0，解得　b=1,代回方程，解得x=3/2，y=-1　即M(3/2，-1)
|BC|=5，M到BC的距离为|6-3-12|/5=9/5
△BCM的面积最大值为5×(9/5)/2=9/2