Question

已知函数f(x)=4^x+m*2^x+1有且只有一个零点，则实数m的值为？

Answer 1

令t=2^x>0
4^x=(2^2)^x=2^(2x)=(2^x)^2=t^2
原式变为
t^2+mt+1=0
只有一个零点表示只有一个正根（因为2^x=t>0）
所以

1.二次方程只有一个解，且是正的
所以Δ=m^2-4=0,t>0
m=±2
发现m=-2时，t=1,
m=2,t=-1
所以m=-2满足

2.两个根x1,x2，一正一负
但是由韦达定理
x1x2=1
x1x2要么同正，要么同负
所以不可能

综上m=-2

Answer 2

解：∵函数f(x)=4^x+m*2^x+1有且只有一个零点。
即 方程4^x+m*2^x+1=0 有唯一解
设t=2^x
原方程可化为f(t)=t^2+mt+1=0 有唯一解
原方程可化为f(t)=t^2+mt+1=0 有唯一解
又∵f(0)=1 有数形结合可知△=0 且对称轴t=-m/2>0
即m^2-4=0, m<0
∴m=-2

Answer 3

令2^x＝t，则函数化间为f（x）＝t^2 mt 1
关于t的一元二次方程，只有一个零点说明判别式b^2-4ac＝0即m^2-4＝0得m＝±2.