Question

函数一样，求证明㏑（n＋1）＞1／3＋1／5＋1／7＋……＋1／（2n＋1），n∈N＋

Answer 1

设f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)
求导，f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2在(0，+∞)上恒大于零
由f(0)=0，知f(x)在(0，1)上大于0
分别令x=1/1,1/2,1/3,……,1/n
就得到ln(n+1)>1/2+1/3+1/4+……+1/n>1/3+1/5+1/7+……+1/(2n+1)

Answer 2

用数归；
n=1，，，，，，，，，，
n=k时，有㏑（k＋1）＞1／3＋1／5＋1／7＋……＋1／（2k＋1）;
n=k+1时，则㏑（k＋2）—【1／3＋1／5＋1／7＋……＋1／（2k＋1）＋1／（2k＋3）】
>㏑（k＋2）—【㏑（k＋1）＋1／（2k＋3）】
>㏑（k＋2）/（k＋1）—1／（2k＋3）
>㏑1+1/（k＋1） — 1／（2k＋3）
>1/（k＋1）/[1+1+/（k＋1）] — 1／（2k＋3）
=1/（k＋2）— 1／（2k＋3）>0.，
既当n=k+1时也成立；
......
.......

Answer 3

ln（1+x）>1/x