Question

e^-x*x(e的负x方）在0到正无穷上的积分怎么求?

Answer 1

这是个欧拉积分，没办法求出原函数。方法可以有下面两种
1. 利用加玛函数r(s)=∫x^(s-1) *[e^(-x)]dx,由贝塔函数可知r(0.5)=√π，
在∫e^(-x²)dx中令x²=t，则原式=0.5r(0.)=0.5*√π （积分区间均为0到正无穷大）
2. 在第一象限中画出一个半径为R和√2R的四分之一圆，再画一个边长为R的正方形
令半径为R的四分之一圆区域为D1，半径为√2R的四分之一圆区域为D2，正方形区域为D，因为
∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy ，从左到右的积分区域分别为D1，D，D2
所以求解上面每一个二重积分，可以知道
(π/4)(1-e^(-R^2))≤[∫e^(-x²)dx]²≤(π/4)(1-e^(-2R^2)) 中间的积分区域是0到R
然后令上式的R趋于正无穷大时，两边极限都为π/4
所以中间的极限为π/4
开根号以后就可以知道原式=0.5*√π
这个积分很重要，在概率中正态分布的概率密度就跟它有关系，所以你最好要好好理解一下，希望对你有所帮助

Answer 2

非初等函数，无法积分，只能记结论 (根号π)/2

Answer 3